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高等数学（上）

高等数学（下）线性代数概率论与数理统计

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七、微分方程

引言一、函数与极限二、导数与微分三、微分中值定理与导数的应用四、不定积分五、定积分六、定积分的应用七、微分方程

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7.9* 欧拉方程

📄 7.1 微分方程的基本概念 📄 7.2 可分离变量的微分方程 📄 7.3 齐次方程 📄 7.4 一阶线性微分方程 📄 7.5 可降阶的高阶微分方程 📄 7.6 高阶线性微分方程 📄 7.7 常系数齐次线性微分方程 📄 7.8 常系数非齐次线性微分方程 📄 7.9* 欧拉方程 📄 7.10 常系数线性微分方程组的解法举例 📄 7.11 第七章总结复习

/ 7.9欧拉方程

7.9欧拉方程

2026-05-25 📚 专栏文章

高等数学（上）

▼ 引言

从初等数学到高等数学
如何学好高等数学？

▼ 一、函数与极限

1.1 映射与函数

1.1.1.1映射的概念【映射】
1.1.1.2逆映射【映射】
1.1.1.3复合映射【映射】
1.1.2.1函数的概念【函数】
1.1.2.2函数的特性【函数】
1.1.2.3反函数【函数】
1.1.2.4复合函数【函数】
1.1.2.5函数的运算【函数】
1.1.2.6初等函数【函数】
1.1.3内容巩固【映射与函数】

1.2 数列的极限

1.2.1.1数列极限的非正式定义【数列极限的定义】
1.2.1.2数列极限的正式定义【数列极限的定义】
1.2.2.1数列极限的唯一性【收敛数列的性质】
1.2.2.2收敛数列的有界性【收敛数列的性质】
1.2.2.3收敛数列的保号性【收敛数列的性质】
1.2.2.4收敛数列与其子数列间的关系【收敛数列的性质】
1.2.3内容巩固【数列的极限】

1.3 函数的极限

1.3.1.1自变量趋于有限值时函数的极限【函数极限的定义】
1.3.1.2自变量趋于无穷大时函数的极限【函数极限的定义】
1.3.2.1函数极限的唯一性【函数极限的性质】
1.3.2.2函数极限的有界性【函数极限的性质】
1.3.2.3函数极限的局部保号性【函数极限的性质】
1.3.2.4函数极限与数列极限的关系【函数极限的性质】
1.3.3内容巩固【函数的极限】

1.4 无穷大与无穷小

1.4.1.1无穷小的概念【无穷小】
1.4.1.2无穷小的定义【无穷小】
1.4.1.3无穷小与函数极限的关系【无穷小】
1.4.2.1无穷大的概念【无穷大】
1.4.2.2无穷大的定义【无穷大】
1.4.2.3无穷大与无穷小之间的关系【无穷大】
1.4.3内容巩固【无穷大与无穷小】

1.5 极限运算法则

1.5.1.1两个无穷小的和是无穷小【无穷小的极限运算】
1.5.1.2有界函数与无穷小的乘积是无穷小【无穷小的极限运算】
1.5.2.1函数极限的运算【数列和函数的极限运算】
1.5.2.2数列极限的运算【数列和函数的极限运算】
1.5.2.3极限保号性【数列和函数的极限运算】
1.5.3内容巩固【极限运算法则】

1.6 极限存在准则两个重要极限

1.6.1.1夹逼准则【极限存在准则】
1.6.1.2单调有界准则【极限存在准则】
1.6.1.3柯西极限存在准则【极限存在准则】
1.6.2.1第一个经典重要极限【两个重要极限】
1.6.2.2第二个经典重要极限【两个重要极限】
1.6.3内容巩固【极限存在准则两个重要极限】

1.7 无穷小的比较

1.7.1.1高阶无穷小【无穷小比较的概念】
1.7.1.2低阶无穷小【无穷小比较的概念】
1.7.1.3同阶无穷小【无穷小比较的概念】
1.7.1.4k阶无穷小【无穷小比较的概念】
1.7.1.5等价无穷小【无穷小比较的概念】
1.7.2.1定理1【等价无穷小定理】
1.7.2.2定理2【等价无穷小定理】
1.7.3.1乘除关系的代换【利用等价无穷小求极限】
1.7.3.2加减关系的代换【利用等价无穷小求极限】
1.7.3.3常用的等价无穷小【利用等价无穷小求极限】
1.7.4内容巩固【无穷小的比较】

1.8 函数的连续性与间断点

1.8.1.1函数在一点处连续【函数的连续性】
1.8.1.2函数在一个区间上连续【函数的连续性】
1.8.2.1第一类间断点【函数的间断点】
1.8.2.2第二类间断点【函数的间断点】
1.8.3内容巩固【函数的连续性与间断点】

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

1.9.1.1连续函数的和、差、积、商的连续性【连续函数的运算】
1.9.1.2反函数的连续性【连续函数的运算】
1.9.1.3复合函数的连续性【连续函数的运算】
1.9.2初等函数的连续性
1.9.3内容巩固【连续函数的运算与初等函数的连续性】

1.10 闭区间上连续函数的性质

1.10.1有界性与最大值最小值定理
1.10.2零点定理
1.10.3介值定理
*1.10.3一致连续性

1.11 第一章总结复习

1.11章末总结【函数与极限】

▼ 二、导数与微分

2.1 导数的概念

2.1.1.1直线运动的速度【引例】
2.1.1.2切线问题【引例】
2.1.2.1函数在一点处的导数【导数的定义】
2.1.2.2导函数【导数的定义】
2.1.2.3利用导数定义求导【导数的定义】
2.1.2.4单侧导数【导数的定义】
2.1.3导数的几何意义
2.1.4函数可导性与连续性的关系
2.1.5内容巩固【导数的概念】

2.2 函数的求导法则

2.2.1.1函数的和、差求导法则【函数的和、差、积、商求导法则】
2.2.1.2函数的积的求导法则【函数的和、差、积、商求导法则】
2.2.1.3函数的商的求导法则【函数的和、差、积、商求导法则】
2.2.2反函数的求导法则
2.2.3复合函数的求导法则
2.2.4内容巩固【函数求导法则】

2.3 高阶导数

2.3高阶导数

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

2.4.1隐函数的导数
2.4.2由参数方程所确定的函数的导数
2.4.3相关变化率
2.4.4内容巩固【隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率】

2.5 函数的微分

2.5.1.1微分的非正式定义【微分的定义】
2.5.1.2微分的正式定义【微分的定义】
2.5.2微分的几何意义
2.5.3.1基本初等函数的微分公式【基本初等函数的微分公式与微分运算法则】
2.5.3.2函数和、差、积、商的微分法则【基本初等函数的微分公式与微分运算法则】
2.5.3.3复合函数的微分法则【基本初等函数的微分公式与微分运算法则】
2.5.4.1函数的近似计算【微分在近似计算中的应用】
2.5.4.2误差估计【微分在近似计算中的应用】
2.5.5内容巩固【函数的微分】

2.6 第二章总结复习

2.6章末总结【导数与微分】

▼ 三、微分中值定理与导数的应用

3.1 微分中值定理

3.1.1罗尔定理
3.1.2拉格朗日中值定理
3.1.3柯西中值定理
3.1.4内容巩固【微分中值定理】

3.2 洛必达法则

3.2.1未定式
3.2.2洛必达法则
3.2.3利用洛必达法则求极限
3.2.4洛必达法则的局限性

3.3 泰勒公式

3.3.1函数的多项式近似
3.3.2泰勒中值定理
3.3.3常用泰勒展开
3.3.4利用泰勒公式求极限
3.3.5内容巩固【泰勒公式】

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

3.4.1函数单调性的判断法
3.4.2曲线的凹凸性与拐点
3.4内容巩固

3.5 函数的极值与最值

3.5.1函数的极值
3.5.2函数的最值

3.6 函数图形的描绘

3.6函数图形的描绘

3.7 曲率

3.7.1弧微分
3.7.2曲率及其计算公式
3.7.3曲率圆与曲率半径
3.7.4曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线
3.7.5内容巩固

3.8 方程的近似解

3.8.1二分法
3.8.2切线法
3.8.3割线法

3.9 第三章总结复习

3.9章末总结【微分中值定理与导数应用】

▼ 四、不定积分

4.1 不定积分的概念和性质

4.1.1.1原函数【原函数与不定积分的概念】
4.1.1.2不定积分的概念【原函数与不定积分的概念】
4.1.2基本积分表
4.1.3不定积分的性质
4.1.4内容巩固【原函数与不定积分的概念】

4.2 换元积分法

4.2.1第一类换元法
4.2.2第二类换元法
4.2.3内容巩固【换元积分法】

4.3分部积分法

4.3分部积分法

4.4 有理函数的积分

4.4.1有理函数的积分
4.4.2可化为有理函数的积分举例

4.5 积分表的使用

4.5积分表的使用

4.6 第四章总结复习

4.6章末总结【不定积分】

▼ 五、定积分

5.1 定积分的概念和性质

5.1.1定积分问题举例
5.1.2定积分的定义
5.1.3定积分的近似计算
5.1.4定积分的性质
5.1.5内容巩固【定积分的概念和性质】

5.2 微积分基本公式

5.2.1变速直线运动
5.2.2积分上限的函数及其导数
5.2.3牛顿-莱布尼茨公式

5.3 定积分的换元法和分部法

5.3.1定积分的换元法
5.3.2定积分的分部积分法

5.4 反常积分

5.4.1无穷限的反常积分
5.4.2无界函数的反常积分

5.5* 反常积分审敛法 Γ函数

5.5.1无穷限反常积分的审敛法
5.5.2无界函数的反常积分的审敛法
5.5.3Γ函数
5.5.4内容巩固【反常积分的审敛法 Γ函数】

5.6 第五章总结复习

5.6章末总结【定积分】

▼ 六、定积分的应用

6.1 定积分的元素法

6.1定积分的元素法

6.2 定积分在几何学上的应用

6.2.1平面图像的面积
6.2.2体积
6.2.3平面曲线的弧长

6.3 定积分在物理学上的应用

6.3.1变力沿直线所做的功
6.3.2水压力
6.3.3引力

6.4 第六章总结复习

6.4章末总结【定积分的应用】

▼ 七、微分方程

7.1 微分方程的基本概念

7.1微分方程的基本概念

7.2 可分离变量的微分方程

7.2可分离变量的微分方程

7.3 齐次方程

7.3.1齐次方程
7.3.2可化为齐次的方程

7.4 一阶线性微分方程

7.4.1线性方程
7.4.2伯努利方程

7.5 可降阶的高阶微分方程

7.5.1直接积分型的微分方程
7.5.2不显含 y 的二阶微分方程
7.5.3不显含 x 的二阶微分方程

7.6 高阶线性微分方程

7.6.1二阶线性微分方程举例
7.6.2线性微分方程的解的结构
7.6.3常数变易法

7.7 常系数齐次线性微分方程

7.7.1常系数齐次线性微分方程

7.8 常系数非齐次线性微分方程

7.8.1指数多项式型微分方程
7.8.2指数三角型微分方程

7.9* 欧拉方程

7.9欧拉方程

7.10 常系数线性微分方程组的解法举例

7.10常系数线性微分方程组解法举例

7.11 第七章总结复习

7.11章末总结

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7.8.2指数三角型微分方程

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