高等数学（上）

• 高等数学学什么？【高等数学（上）引言】
• 如何学好高等数学？【高等数学（上）引言】
• 本专栏特色【高等数学（上）引言】

• 1.1.1.1映射的概念【映射】
• 1.1.1.2逆映射【映射】
• 1.1.1.3复合映射【映射】
• 1.1.2.1函数的概念【函数】
• 1.1.2.2函数的特性【函数】
• 1.1.2.3反函数【函数】
• 1.1.2.4复合函数【函数】
• 1.1.2.5函数的运算【函数】
• 1.1.2.6初等函数【函数】
• 1.1.3内容巩固【映射与函数】

• 1.2.1.1数列极限的非正式定义【数列极限的定义】
• 1.2.1.2数列极限的正式定义【数列极限的定义】
• 1.2.2.1数列极限的唯一性【收敛数列的性质】
• 1.2.2.2收敛数列的有界性【收敛数列的性质】
• 1.2.2.3收敛数列的保号性【收敛数列的性质】
• 1.2.2.4收敛数列与其子数列间的关系【收敛数列的性质】
• 1.2.3内容巩固【数列的极限】

• 1.3.1.1自变量趋于有限值时函数的极限【函数极限的定义】
• 1.3.1.2自变量趋于无穷大时函数的极限【函数极限的定义】
• 1.3.2.1函数极限的唯一性【函数极限的性质】
• 1.3.2.2函数极限的有界性【函数极限的性质】
• 1.3.2.3函数极限的局部保号性【函数极限的性质】
• 1.3.2.4函数极限与数列极限的关系【函数极限的性质】
• 1.3.3内容巩固【函数的极限】

• 1.4.1.1无穷小的概念【无穷小】
• 1.4.1.2无穷小的定义【1.4.1无穷小】
• 1.4.1.3无穷小与函数极限的关系【无穷小】
• 1.4.2.1无穷大的概念【1.4.2无穷大】
• 1.4.2.2无穷大的定义【1.4.2无穷大】
• 1.4.2.3无穷大与无穷小之间的关系【1.4.2无穷大】
• 1.4.3内容巩固【1.4无穷大与无穷小】

• 1.5.1.1两个无穷小的和是无穷小【1.5.1无穷小的极限运算】
• 1.5.1.2有界函数与无穷小的乘积是无穷小【1.5.1无穷小的极限运算】
• 1.5.2.1函数极限的运算【1.5.2数列和函数的极限运算】
• 1.5.2.2数列极限的运算【1.5.2数列和函数的极限运算】
• 1.5.2.3极限保号性【1.5.2数列和函数的极限运算】
• 1.5.3内容巩固【1.5极限运算法则】

• 1.6.1.1夹逼准则【1.6.1极限存在准则】
• 1.6.1.2单调有界准则【1.6.1极限存在准则】
• 1.6.1.3柯西极限存在准则 【1.6.1极限存在准则】
• 1.6.2.1第一个经典重要极限 【1.6.2两个重要极限】
• 1.6.2.2第二个经典重要极限 【1.6.2两个重要极限】
• 1.6.3内容巩固 【1.6极限存在准则 两个重要极限】

• 1.7.1.1高阶无穷小【1.7.1无穷小比较的概念】
• 1.7.1.2低阶无穷小【1.7.1无穷小比较的概念】
• 1.7.1.3同阶无穷小【1.7.1无穷小比较的概念】
• 1.7.1.4k阶无穷小【1.7.1无穷小比较的概念】
• 1.7.1.5等价无穷小【1.7.1无穷小比较的概念】
• 1.7.2.1定理1【1.7.2等价无穷小定理】
• 1.7.2.2定理2【1.7.2等价无穷小定理】
• 1.7.3.1乘除关系的代换【1.7.3利用等价无穷小求极限】
• 1.7.3.2加减关系的代换【1.7.3利用等价无穷小求极限】
• 1.7.3.3常用的等价无穷小【1.7.3利用等价无穷小求极限】
• 1.7.4内容巩固【1.7无穷小的比较】

• 1.8.1.1函数在一点处连续【1.8.1函数的连续性】
• 1.8.1.2函数在一个区间上连续【1.8.1函数的连续性】
• 1.8.2.1第一类间断点【1.8.2函数的间断点】
• 1.8.2.2第二类间断点【1.8.2函数的间断点】
• 1.8.3内容巩固【1.8函数的间断点】
• 1.9.1.1连续函数的和、差、积、商的连续性【1.9.1连续函数的运算】

• 1.9.1.2反函数的连续性【1.9.1连续函数的运算】
• 1.9.1.3复合函数的连续性【1.9.1连续函数的运算】
• 1.9.2初等函数的连续性
• 1.9.3内容巩固【1.9连续函数的运算与初等函数的连续性】

• 1.10.1有界性与最大值最小值定理
• 1.10.2零点定理
• 1.10.3介值定理
• *1.10.3一致连续性

• 1.11章末总结【函数与极限】

• 2.1.1.1直线运动的速度【2.1.1引例】
• 2.1.1.2切线问题【2.1.1引例】
• 2.1.2.1函数在一点处的导数【2.1.2导数的定义】
• 2.1.2.2导函数【2.1.2导数的定义】
• 2.1.2.3利用导数定义求导【2.1.2导数的定义】
• 2.1.2.4单侧导数【2.1.2导数的定义】
• 2.1.3导数的几何意义
• 2.1.4函数可导性与连续性的关系
• 2.1.5内容巩固【2.1导数的概念】

• 2.2.1.1函数的和、差求导法则【2.2.1函数的和、差、积、商求导法则】
• 2.2.1.2函数的积的求导法则【2.2.1函数的和、差、积、商求导法则】
• 2.2.1.3函数的商的求导法则【2.2.1函数的和、差、积、商求导法则】
• 2.2.2反函数的求导法则
• 2.2.3复合函数的求导法则
• 2.2.4内容巩固【2.2函数求导法则】

• 2.3高阶导数

• 2.4.1隐函数的导数
• 2.4.2由参数方程所确定的函数的导数
• 2.4.3相关变化率
• 2.4.4内容巩固【隐函数及由参数方程所确定的 函数的导数 相关变化率】

• 2.5.1.1微分的非正式定义【2.5.1微分的定义】
• 2.5.1.2微分的正式定义【2.5.1微分的定义】
• 2.5.2微分的几何意义
• 2.5.3.1基本初等函数的微分公式【2.5.3基本初等函数的微分公式与微分运算法则】
• 2.5.3.2函数和、差、积、商的微分法则【2.5.3基本初等函数的微分公式与微分运算法则】
• 2.5.3.3复合函数的微分法则【2.5.3基本初等函数的微分公式与微分运算法则】
• 2.5.4.1函数的近似计算【2.5.4微分在近似计算中的应用】
• 2.5.4.2误差估计【2.5.4微分在近似计算中的应用】
• 2.5.5内容巩固【2.5函数的微分】

• 2.6章末总结【导数与微分】

• 3.1.1罗尔定理【3.1微分中值定理】
• 3.1.2拉格朗日中值定理
• 3.1.3柯西中值定理
• 3.1.4内容巩固【3.1微分中值定理】

• 3.2.1未定式
• 3.2.2洛必达法则
• 3.2.3利用洛必达法则求极限
• 3.2.4洛必达法则的局限性

• 3.3.1函数的多项式近似
• 3.3.2泰勒中值定理
• 3.3.3常用泰勒展开
• 3.3.4利用泰勒公式求极限
• 3.3.5内容巩固【3.3泰勒公式】

• 3.4.1函数单调性的判断法
• 3.4.2曲线的凹凸性与拐点
• 3.4内容巩固

• 3.5.1函数的极值
• 3.5.2函数的最值

• 3.6函数图形的描绘

• 3.7.1弧微分
• 3.7.2曲率及其计算公式
• 3.7.3曲率圆与曲率半径
• 3.7.4曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线
• 3.7.5内容巩固

• 3.8.1二分法
• 3.8.2切线法
• 3.8.3割线法

• 3.9章末总结【微分中值定理与导数应用】

• 4.1.1.1原函数【4.1.1原函数与不定积分的概念】
• 4.1.1.2不定积分的概念【4.1.1原函数与不定积分的概念】
• 4.1.2基本积分表
• 4.1.3不定积分的性质
• 4.1.4内容巩固【4.1原函数与不定积分的概念】

• 4.2.1第一类换元法
• 4.2.2第二类换元法
• 4.2.3内容巩固【4.2换元积分法】

• 4.3分部积分法

• 4.4.1有理函数的积分
• 4.4.2可化为有理函数的积分举例

• 4.5积分表的使用

• 4.6章末总结【不定积分】

• 5.1.1定积分问题举例
• 5.1.2定积分的定义
• 5.1.3定积分的近似计算
• 5.1.4定积分的性质
• 5.1.5内容巩固【5.1定积分的概念和性质】

• 5.2.1变速直线运动
• 5.2.2积分上限的函数及其导数
• 5.2.3牛顿-莱布尼茨公式

• 5.3.1定积分的换元法
• 5.3.2定积分的分部积分法

• 5.4.1无穷限的反常积分
• 5.5.2无界函数的反常积分的审敛法

• 5.4.2无界函数的反常积分
• 5.5.1无穷限反常积分的审敛法
• 5.5.3Γ函数
• 5.5.4内容巩固【反常积分的审敛法 Γ函数】

• 5.6章末总结【定积分】

• 6.1定积分的元素法
• 6.2.1平面图像的面积【6.2定积分在几何学上的应用】

• 6.2.2体积【6.2定积分在几何学上的应用】
• 6.2.3平面曲线的弧长【6.2定积分在几何学上的应用】

• 6.3.1变力沿直线所做的功【6.3定积分在物理学上的应用】
• 6.3.2水压力【6.3定积分在物理学上的应用】
• 6.3.3引力【6.3定积分在物理学上的应用】

• 6.4章末总结【定积分的应用】

• 7.1微分方程的基本概念

• 7.2可分离变量的微分方程

• 7.3.1齐次方程
• 7.3.2可化为齐次的方程

• 7.4.1线性方程
• 7.4.2伯努利方程

• 7.5.1直接积分型的微分方程
• 7.5.2不显含 y 的二阶微分方程
• 7.5.3不显含 x 的二阶微分方程

• 7.6.1二阶线性微分方程举例
• 7.6.2线性微分方程的解的结构
• 7.6.3常数变易法

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• 7.7常系数齐次线性微分方程
• 7.8.1指数多项式型微分方程
• 7.8.2指数三角型微分方程

• 7.9欧拉方程

• 7.10常系数线性微分方程组解法举例

• 7.11章末总结